Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Тестовый раздел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

информатика

Задание 1 #7004


Переведите в двоичную систему счисления десятичное число 173.


Первый вариант решения
\(173=128+45=128+32+13=128+32+8+4+1=2^7+2^5+2^3+2^2+2^0\). Число 173 представлено в виде суммы двоек в различных степенях. Теперь запишем его в двоичной форме - поставим единицы в тех разрядах, которые отвечают соответствующим степеням двойки в разложении: \(173=10101101_2\). Единица стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням двойки присутствует \(2^0\), единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(2^2\), единица стоит в четвертом разряде, т.к. в разложении есть \(2^3\), единица стоит в шестом разряде, т.к. в разложении есть \(2^5\), единица стоит в восьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^7\). В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять двоичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 1 или 0. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 2: \(173=2\cdot86+1\) - значит, последняя цифра - один, а в следующий разряд переходит число 86. Имеем: \(173=\ldots1_2\). Поделим 86 на 2 с остатком: \(86=2\cdot43+0\), значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 43. Имеем: \(173=\ldots01_2\). Поделим 43 на 2 с остатком: \(43=2\cdot21+1\), значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 21. Имеем: \(173=\ldots101_2\). Поделим 21 на 2 с остатком: \(21=2\cdot10+1\), значит, в четвёртом разряде остаётся 1, а в пятый разряд переходит 10. Имеем: \(173=\ldots1101_2\). Поделим 10 на 2 с остатком: \(10=2\cdot5+0\), значит, в пятом разряде остаётся 0, а в шестой разряд переходит 5. Имеем: \(173=\ldots01101_2\). Поделим 5 на 2 с остатком: \(5=2\cdot2+1\), значит, в шестом разряде остаётся 1, а в седьмой разряд переходит 2. Имеем: \(173=\ldots101101_2\). Поделим 2 на 2 с остатком: \(2=2\cdot1+0\), значит, в седьмом разряде остаётся 0, а в восьмой разряд переходит 1. Имеем: \(173=\ldots0101101_2\). И наконец, поделим 1 на 2 с остатком: \(1=2\cdot0+1\), значит, в восьмом разряде остаётся 1, а в девятый разряд ничего не переходит. Имеем: \(173=10101101_2\), и наш процесс завершён.

Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в двоичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие единицы, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “два”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается два яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: \(173=2\cdot86+1\)) - получится 86 коробочек и одно яблоко. Теперь нам не страшно говорить “одно яблоко”, поскольку мы не боимся говорить “один”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются две коробки. Попробуем разложить 86 коробок в ящики (деление с остатком: \(86=2\cdot43+0\)), получим ровно 43 ящика и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и одно яблоко” - не проблема, а вот 43 ящика - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается два ящика. Получим 21 тележку, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Тележек многовато (больше одной), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается две тележки. Имеем 10 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Два кузова поместим в одну фуру, получим 5 фур, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Фуры поместим на паромы - по две фуры на один паром. Получим 2 парома, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Произнести “два парома” мы всё еще не можем, так как боимся числа “два” - придётся их тоже упаковать. Хорошо, что у нас есть бухта, вмещающая ровно два парома. Имеем: 1 бухта, 0 паромов, 1 фура, 0 кузовов, 1 тележка, 1 ящик, 0 коробок, 1 яблоко. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 1. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 10101101 - это как раз число 173 в двоичной системе счисления. Именно ДВОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “два” и больше, и именно ДВОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается два яблока, в ящик - две коробки и т.д.

Ответ: 10101101

Задание 2 #7005


Переведите в двоичную систему счисления десятичное число 215.


Первый вариант решения
\(215=128+64+16+4+2+1=2^7+2^6+2^4+2^2+2^1+2^0\). Число 215 представлено в виде суммы двоек в различных степенях. Теперь запишем его в двоичной форме - поставим единицы в тех разрядах, которые отвечают соответствующим степеням двойки в разложении: \(215=11010111_2\). Единица стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 215 по степеням двойки присутствует \(2^0\), единица стоит во втором разряде, т.к. в разложении есть \(2^1\), единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(2^2\), единица стоит в пятом разряде, т.к. в разложении есть \(2^4\), единица стоит в седьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^6\), единица стоит в восьмом разряде, т.к. в разложении есть \(2^7\). В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять двоичную запись числа 215 пошагово.

  • \(215=2\cdot107+1\)

  • \(107=2\cdot53+1\)

  • \(53=2\cdot26+1\)

  • \(26=2\cdot13+0\)

  • \(13=2\cdot6+1\)

  • \(6=2\cdot3+0\)

  • \(3=2\cdot1+1\)

  • \(1=2\cdot0+1\)

Записываем остатки подряд от последнего равенства к первому, получаем \(215=11010111_2\)

Ответ: 11010111

Задание 3 #7006


Переведите в десятичную систему счисления двоичное число \(1001011100_2\)


Первый вариант решения
\(1001011100_2=2^9+2^6+2^4+2^3+2^2=512+64+16+8+4=604\)
Второй вариант решения
Будем восстанавливать десятичное число из двоичного \(1001011100_2\) пошагово:

  • Перенесём единицу из старшего разряда (десятого) в девятый: \(1\cdot2+0=2\) - прибавление нуля отвечает нулю в девятом разряде двоичного числа.

  • Перенесём полученную двойку из девятого разряда в восьмой: \(2\cdot2+0=4\) - прибавление нуля отвечает нулю в восьмом разряде двоичного числа.

  • Перенесём полученную 4 из восьмого разряда в седьмой: \(4\cdot2+1=8+1=9\) - мы добавили единицу, так как в исходном двоичном числе в седьмом разряде была единица.

  • Перенесём полученную 9 из седьмого разряда в шестой: \(9\cdot2+0=18\)

  • Перенесём полученное число 18 из шестого разряда в пятый: \(18\cdot2+1=37\)

  • Перенесём полученное число 37 из пятого разряда в четвертый: \(37\cdot2+1=75\)

  • Перенесём полученное число 75 из четвертого разряда в третий: \(75\cdot2+1=151\)

  • Перенесём полученное число 151 из третьего разряда во второй: \(151\cdot2+0=302\)

  • Перенесём полученное число 302 из второго разряда в первый: \(302\cdot2+0=604\)

На каждом шаге мы умножали число из предыдущего разряда на 2, а затем добавляли 1 или 0 в зависимости от того, какая цифра стоит в этом разряде в двоичной записи.

Ответ: 604

Задание 4 #7007


Найдите натуральное число большее 7, но меньшее 12, содержащее ровно две единицы в двоичной записи. Если таких чисел несколько, укажите наименьшее из них.


Запишем все числа от 8 до 11 включительно в двоичной системе счисления:

  • \(8=1000_2\)

  • \(9=1001_2\)

  • \(10=1010_2\)

  • \(11=1011_2\)

Легко заметить, что две единицы в двоичной записи содержат десятичные числа 9 и 10. В задаче требуется указать наименьшее такое число, поэтому ответ - 9.

Ответ: 9

Задание 5 #7008


Найдите наименьшее трёхзначное десятичное число, двоичная запись которого содержит пять единиц.


Выпишем несколько самых маленьких трёхзначных чисел в двоичной системе счисления:

  • \(100=1100100_2\)

  • \(101=1100101_2\)

  • \(102=1100110_2\)

  • \(103=1100111_2\)

  • ...

Легко заметить, что пять единиц встречается уже в двоичной записи числа 103, а значит это и есть наименьшее трёхзначное десятичное число, подходящее под условия задачи.

Ответ: 103

Задание 6 #7009


Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство \(10110111_2<x<10111111_2\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(10110111_2\) и \(10111111_2\) в десятичную систему счисления:

  • \(10110111_2=183\)

  • \(10111111_2=191\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(183<x<191\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 183 до 191 находится \((191-183)+1=9\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([183;191]\) не учитываются, то есть \(x\ne183\) и \(x\ne191\). Поэтому из всех чисел от 183 до 191 подходит только \(9-2=7\) чисел.

Ответ: 7

Задание 7 #7010


Сколько существует натуральных решений неравенства \(11010101_2<x<11011111_2\)? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.


Переведём числа \(11010101_2\) и \(11011111_2\) в десятичную систему счисления:

  • \(10110111_2=213\)

  • \(10111111_2=223\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(213<x<223\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 213 до 223 находится \((223-213)+1=11\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([213;223]\) не учитываются, то есть \(x\ne213\) и \(x\ne223\). Поэтому из всех чисел от 213 до 223 подходит только \(11-2=9\) чисел.

Ответ: 9